Table of Contents
MI-MPI vypisky
Pojmy
Grupoid
- uzavreny na operaci
Pologrupa
- asociativita <m>a+(b+c) = (a+b)+c</m>
Monoid
- obsahuje neutralni prvek
Grupa
- obsahuje inverzni prvek
Abelova grupa
- komutativita <m>a•b=b•a</m>
Grupy
- V kazde grupe existuje prave jeden neutralni prvek.
- V kazde grupe existuje k jednomu prvku prave jeden inverzni prvek.
- Veta o soudruznosti inverzniho prvku. (a*)*=a
- V libovolne grupe (G,) plati forall a,b in G (a ◻ b)* = b*◻a*
Definice grupy:
- Nechť je na neprázdné množině G dána operace s vlastnostmi:
- <m>forall a, b, c in G: a □ (b □ c) = (a □ b) □ c</m>
- <m>forall a, b, c in G exists x, y in G: a □ x = b, y □ a = b</m>
- Potom řekneme, že množina G s operací □ tvoří grupu.
Definice podgrupy
- P je uzavrena vzhledem k “.”
- Jednotkovy prvek e grupy G patri do P
- P obsahuje s kazdym prvkem a take jeho inverzni prvek a^-1
Trivialni podgrup
- Podgrupu ({e},.) nazveme rivialni, kazdou dalsi podgrupu netrivialni.
Normální podgrupa (Normal subgroup)
- Podgrupa H se nazývá normální, jestliže bHb^-1 subset H pro každé b in G
Homomorfismu
- Grupy (G,.) a (H,.) a zobrazeni fi z G do H
- <m>forall g1 g2 in G doubleright fi(g1.g2)= fi(g1).fi(g2)</m>
Izomorfni zobrazeni
- Jeli homomorfní zobrazení bijekce, nazýváme ho izomorfním zobrazením.
Věta:
- Složení dvou homomorfních (izomorfních zobrazení je homomorfní (izomorfní) zobrazení.
- Zobrazení inverzní k izomorfnímu zobrazení je izomorfní zobrazení.
Langrangeova veta
- Rad konecne grupy je nasobkem radu kazde jeji podgrupy.
- Důsledek: Řád každého prvku konečné grupy G je dělitelem řádu grupy G.
