Table of Contents

MI-MPI vypisky
- - Pojmy
    - - Grupoid
      - Pologrupa
      - Monoid
      - Grupa
      - Abelova grupa
  - Grupy

MI-MPI vypisky

Pojmy

Grupoid

uzavreny na operaci

Pologrupa

asociativita <m>a+(b+c) = (a+b)+c</m>

Monoid

obsahuje neutralni prvek

Grupa

obsahuje inverzni prvek

Abelova grupa

komutativita <m>a•b=b•a</m>

Grupy

V kazde grupe existuje prave jeden neutralni prvek.
V kazde grupe existuje k jednomu prvku prave jeden inverzni prvek.
Veta o soudruznosti inverzniho prvku. (a*)*=a
V libovolne grupe (G,) plati forall a,b in G (a ◻ b)* = b*◻a*

Definice grupy:

Nechť je na neprázdné množině G dána operace s vlastnostmi:
- <m>forall a, b, c in G: a □ (b □ c) = (a □ b) □ c</m>
- <m>forall a, b, c in G exists x, y in G: a □ x = b, y □ a = b</m>
Potom řekneme, že množina G s operací □ tvoří grupu.

Definice podgrupy

P je uzavrena vzhledem k “.”
Jednotkovy prvek e grupy G patri do P
P obsahuje s kazdym prvkem a take jeho inverzni prvek a^-1

Trivialni podgrup

Podgrupu ({e},.) nazveme rivialni, kazdou dalsi podgrupu netrivialni.

Normální podgrupa (Normal subgroup)

Podgrupa H se nazývá normální, jestliže bHb^-1 subset H pro každé b in G

Homomorfismu

Grupy (G,.) a (H,.) a zobrazeni fi z G do H
- <m>forall g1 g2 in G doubleright fi(g1.g2)= fi(g1).fi(g2)</m>

Izomorfni zobrazeni

Jeli homomorfní zobrazení bijekce, nazýváme ho izomorfním zobrazením.

Věta:

Složení dvou homomorfních (izomorfních zobrazení je homomorfní (izomorfní) zobrazení.
Zobrazení inverzní k izomorfnímu zobrazení je izomorfní zobrazení.

Langrangeova veta

Rad konecne grupy je nasobkem radu kazde jeji podgrupy.
Důsledek: Řád každého prvku konečné grupy G je dělitelem řádu grupy G.