====== MI-MPI vypisky ======
==== Pojmy ====

== Grupoid ==
  * uzavreny na operaci
== Pologrupa ==
  * asociativita <m>a+(b+c) = (a+b)+c</m>
== Monoid ==
  * obsahuje neutralni prvek
== Grupa == 
  * obsahuje inverzni prvek
== Abelova grupa ==
  * komutativita <m>a•b=b•a</m>

==== Grupy ====
  * V kazde grupe existuje prave jeden neutralni prvek.
  * V kazde grupe existuje k jednomu prvku prave jeden inverzni prvek.
  * Veta o soudruznosti inverzniho prvku. (a*)*=a
  * V libovolne grupe (G,) plati forall a,b in G (a ◻ b)* = b*◻a* 



=== Definice grupy: ===
  * Nechť  je na neprázdné množině G  dána operace s vlastnostmi:
    * <m>forall a, b, c in G:  a □ (b □ c) =  (a □ b) □ c</m>
    * <m>forall a, b, c in G exists x, y in G: a □ x = b, y □ a = b</m>
  * Potom řekneme, že množina G s operací □ tvoří grupu.


=== Definice podgrupy ===
  * P je uzavrena vzhledem k "."
  * Jednotkovy prvek e grupy G patri do P
  * P obsahuje s kazdym prvkem a take jeho inverzni prvek a^-1
  
=== Trivialni podgrup ===
  * Podgrupu ({e},.) nazveme rivialni, kazdou dalsi podgrupu netrivialni.

=== Normální podgrupa (Normal subgroup) ===
  * Podgrupa H se nazývá normální, jestliže bHb^-1 subset H pro každé  b in G

=== Homomorfismu ===
  * Grupy (G,.) a (H,.) a zobrazeni fi z G do H 
    * <m>forall g1 g2 in G doubleright fi(g1.g2)= fi(g1).fi(g2)</m>

=== Izomorfni zobrazeni ===
  * Jeli homomorfní zobrazení bijekce, nazýváme ho izomorfním zobrazením.

=== Věta: ===
  * Složení dvou homomorfních (izomorfních zobrazení je homomorfní (izomorfní) zobrazení.
  * Zobrazení inverzní k izomorfnímu zobrazení  je izomorfní zobrazení.

=== Langrangeova veta ===
  * Rad konecne grupy je nasobkem radu kazde jeji podgrupy.
  * **Důsledek:** Řád každého prvku konečné grupy G je dělitelem řádu grupy G.